Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y= x^3-3mx^2+ 3( m^2-1)x-m^3+m

Câu hỏi:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y=x^3-3m{x}^2+3\left(m^2-1\right)x-m^3+m$ có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng $\sqrt{2}$ lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O

Trả lời:

Chọn C

Ta có $y‘=3x^2-6mx+3\left(m^2-1\right)$

Hàm số (1) có cực trị thì PT y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt

⇔ x² – 2mx + m² – 1 = 0 có 2 nhiệm phân biệt

$\iff \Delta =1>0,\forall m$

Khi đó, điểm cực đại A(m – 1; 2 – 2m) và điểm cực tiểu B (m + 1; – 2m)

Ta có $OA=\sqrt{2}OB\iff m^2+6m+1=0$

$\iff \left[\begin{array}{c}m=-3+2\sqrt{2}\\ m=-3-2\sqrt{2}\end{array}\right.$