Thể tích của khối tứ diện A’.ABC theo a bằng

thcsthanhcong2 tuần ago

0 1 1 minute read

Câu hỏi:

Cho lăng trụ tam giác $A B C . A^{‘} B^{‘} C^{‘}$ có $B B^{‘} = a$ , góc giữa đường thẳng BB’ và $(A B C)$ bằng $60 °$ , tam giác $A B C$ vuông tại C và góc $\hat{B A C} = 60 °$ . Hình chiếu vuông góc của điểm B’ lên (ABC) trùng với trọng tâm của $Δ A B C$ . Thể tích của khối tứ diện $A^{‘} . A B C$ theo a bằng

A. $\frac{13 a^{3}}{108}$

B. $\frac{15 a^{3}}{108}$

C. $\frac{7 a^{3}}{106}$

D. $\frac{9 a^{3}}{208}$

Xem lời giải

Trả lời:

Chọn D

Gọi G là trọng tâm

Δ A B C

\Rightarrow B^{‘} G ⊥ (A B C)

\Rightarrow B G

là hình chiếu của BB’ lên (ABC).

\Rightarrow (\hat{B B^{‘}, (A B C)}) = (\hat{B B^{‘}, B G}) = \hat{B^{‘} G B} = 60 °

(vì

Δ B B^{‘} G

vuông tại G nên

\hat{B^{‘} G B}

nhọn).

\Rightarrow B^{‘} G = B B^{‘} . \sin 60 ° = \frac{a \sqrt{3}}{2}

B G = B B^{‘} . \cos 60 ° = \frac{a}{2}

Gọi M là trung điểm AC.

\Rightarrow B M = \frac{3}{2} B G = \frac{3 a}{4}

Lại có : tam giác ABC vuông tại C và góc

\hat{B A C} = 60 °

\Rightarrow B C = A C . \tan 60 ° = A C . \sqrt{3}

Δ B C M

vuông tại

\Rightarrow B C^{2} + M C^{2} = B M^{2} \Leftrightarrow 3 A C^{2} + \frac{A C^{2}}{4} = \frac{9 a^{2}}{16} \Leftrightarrow A C = \frac{3 a \sqrt{13}}{26}

\Rightarrow B C = \frac{3 a \sqrt{39}}{26}

\Rightarrow S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} B C . A C = \frac{9 a^{2} \sqrt{3}}{104}

(A B C) // (A^{‘} B^{‘} C^{‘})

\Rightarrow d (A^{‘}, (A B C)) = d (B^{‘}, (A B C)) = B^{‘} G = \frac{a \sqrt{3}}{2}

.
Thể tích của khối tứ diện : A’.ABC:

V_{A^{‘} . A B C} = \frac{1}{3} . B^{‘} G . S_{Δ A B C} = \frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{3}}{2} . \frac{9 a^{2} \sqrt{3}}{104} = \frac{9 a^{3}}{208}

Mọi sao chép, nhớ để nguồn bài viết: Thể tích của khối tứ diện A’.ABC theo a bằng của website https://c2thanhcong-bd.edu.vn

thcsthanhcong2 tuần ago

0 1 1 minute read