Thể tích của khối lăng trụ đều ABC.A’B’C’ biết cạnh đáy AB = a, góc giữa A’B và mặt bên (ACC’A’)

Đáp án A

Phương pháp:

Gọi a’ là hình chiếu vuông góc của a trên mặt phẳng (P).

Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) là góc giữa đường thẳng a và a’.

Cách giải:

Gọi I là trung điểm của AC. (Delta ABC) đều, (AB = a Rightarrow B = frac{{asqrt 3 }}{2},,,,{S_{ABC}} = frac{{{a^2}sqrt 3 }}{4}) và (BI bot AC)

Mà (BI bot AA’left( {do,AA’ bot left( {ABC} right)} right))

( Rightarrow BI bot left( {ACC’A’} right) Rightarrow left( {A’B;left( {ACC’A’} right)} right) = left( {A’B;A’I} right) = IA’B = {45^0})

(Delta IA’B) vuông tại I, (IA’B = {45^0} Rightarrow Delta IA’B) vuông cân tại I

( Rightarrow A’B = sqrt 2 .IB = sqrt 2 .frac{{asqrt 3 }}{2} = frac{{asqrt 6 }}{2})

(Delta ABA’) vuông tại A ( Rightarrow AA’ = sqrt {A'{B^2} – A{B^2}} = sqrt {left( {frac{{asqrt 6 }}{2}} right) – {a^2}} = frac{{asqrt 2 }}{2})

Thể tích khối lăng trụ đều ABC.A’B’C’ là: (V = {S_{ABC}}.AA’ = frac{{{a^2}sqrt 3 }}{4}.frac{{asqrt 2 }}{2} = frac{{{a^3}sqrt 6 }}{8})