Người ta muốn mạ vàng cho bề mặt phía ngoài của một cái hộp dạng hình hộp đứng

Câu hỏi:

Người ta muốn mạ vàng cho bề mặt phía ngoài của một cái hộp dạng hình hộp đứng không nắp ( không nắp trên, các bề mặt là phẳng ), có đáy là một hình vuông. Tìm chiều cao của hộp để lượng vàng phải dùng để mạ là ít nhất, biết lớp mạ ở mọi nơi như nhau, giao giữa các mặt là không đáng kể và thể tích hộp là 4$d{m}^3$

Trả lời:

Chọn A

Gọi cạnh đáy là a, chiều cao là h. Diện tích đáy là $a^2$, diện tích xung quanh là $4ah.$
Ta có $V=a^{2}h=4\Rightarrow ah=\frac{4}{a}.$
Lượng vàng cần phải dùng là : $a^2+4ah=a^2+\frac{16}{a}=a^2+\frac{8}{a}+\frac{8}{a}\ge 3.\sqrt[3]{a^2.\frac{8}{a}.\frac{8}{a}}=12.$
Dấu $“=“$ xảy ra $\iff a^2=\frac{8}{a}=\frac{8}{a}\iff a=2\Rightarrow h=\frac{4}{a^2}=1$