Một chiếc thùng đựng rượu vang như hình vẽ ở bên được ghép bởi các thanh gỗ

Câu hỏi:

Một chiếc thùng đựng rượu vang như hình vẽ ở bên được ghép bởi các thanh gỗ uốn cong có dạng là một parabol và được buộc chắc bằng các đai thép hình tròn. Biết đáy của thùng rượu là một đường tròn có bán kính đáy bằng 30 cm, chiều cao của thùng rượu là 1 m, chiếc đai thép hình tròn đặt chính giữa thùng rượu có bán kính 40 cm. Hỏi thùng rượu chứa được tối đa bao nhiêu lít rượu.

Trả lời:

Chọn C.

Cắt thùng rượu bởi một mặt phẳng qua trục của thùng ta được thiết diện như hình vẽ.
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Ta gọi phương trình parabol chứa một thanh gỗ uốn cong là $\left(P\right):y=a.x^2+b.x+c$
Theo hình vẽ ta thấy (P) đi qua các điểm $\left(0;\frac{2}{5}\right)$, $\left(\frac{1}{2};\frac{3}{10}\right)$ và có đỉnh là $\left(0;\frac{2}{5}\right)$ nên $\left(P\right):y=-\frac{2}{5}{x}^2+\frac{2}{5}$.
Ta có thể tích thùng rượu là
$V=\pi \underset{-\frac{1}{2}}{\overset{\frac{1}{2}}{\int }}{\left(-\frac{2}{5}{x}^2+\frac{2}{5}\right)}^2\text{d}x=\frac{4}{25}\pi \underset{-\frac{1}{2}}{\overset{\frac{1}{2}}{\int }}{\left(-x^2+1\right)}^2\text{d}x=\frac{4}{25}\pi \underset{-\frac{1}{2}}{\overset{\frac{1}{2}}{\int }}\left(x^4-2x^2+1\right)\text{d}x$
$=\frac{4}{25}\pi \left(\frac{x^5}{5}-\frac{2x^3}{3}+x\right)\left|{}_{\begin{array}{l}\\ -\frac{1}{2}\end{array}}^{\begin{array}{l}\frac{1}{2}\\ \end{array}}\right.=\frac{203\pi }{1500}\approx 0,42516$ lít.