Cho tứ diện ABCD, có AB = AC = AD = a, BAD = 90 độ, DAC = 60 độ, CAB = 120 độ. Thể tích
Câu hỏi:
Cho tứ diện ABCD, có (AB = AC = AD = a,,,,BAD = {90^0};,,DAC = {60^0};,,CAB = {120^0}). Thể tích tứ diện ABCD là
Cho tứ diện ABCD, có (AB = AC = AD = a,,,,BAD = {90^0};,,DAC = {60^0};,,CAB = {120^0}). Thể tích tứ diện ABCD là
Trả lời:
Đáp án B
Phương pháp:
+) Chóp có các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.
+) Tính độ dài các cạnh BC, CD, DA, sử dụng định lí Pytago đảo chứng minh tam giác ABC vuông.
+)
Cách giải:
Tam giác ABD vuông cân tại A ( Rightarrow BD = ABsqrt 2 = asqrt 2 )
Tam giác ACD đều ( Rightarrow CD = AD = a)
Tam giác ABC: (BC = sqrt {A{B^2} + A{C^2} – 2.AB.AC.cos {{120}^0}} = sqrt {{a^2} + {a^2} – 2.{a^2}.frac{{ – 1}}{2}} = asqrt 3 )
( Rightarrow B{D^2} + C{D^2} = B{C^2} Rightarrow ) Tam giác BCD vuông tại D
Gọi I là trung điểm của BC ( Rightarrow ) I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD
Mà tứ diện ABCD có (AB = AC = AD)
( Rightarrow AI bot left( {BCD} right) Rightarrow {V_{ABCD}} = frac{1}{3}.AI.{S_{BCD}})
Tam giác ABI vuông tại I ( Rightarrow AI = sqrt {A{B^2} – B{I^2}} = sqrt {{a^2} – {{left( {frac{{asqrt 3 }}{2}} right)}^2}} = frac{a}{2})
Tam giác BCD vuông tại D ( Rightarrow {S_{BCD}} = frac{1}{2}.BD.DC = frac{1}{2}.asqrt 2 .a = frac{{{a^2}sqrt 2 }}{2})
( Rightarrow {V_{ABCD}} = frac{1}{3}.AI.{S_{BCD}} = frac{1}{3}.frac{a}{2}.frac{{{a^2}sqrt 2 }}{2} = frac{{{a^3}sqrt 2 }}{{12}})
Tam giác ABD vuông cân tại A ( Rightarrow BD = ABsqrt 2 = asqrt 2 )
Tam giác ACD đều ( Rightarrow CD = AD = a)
Tam giác ABD vuông cân tại A ( Rightarrow BD = ABsqrt 2 = asqrt 2 )
Tam giác ACD đều ( Rightarrow CD = AD = a)
Tam giác ABC: (BC = sqrt {A{B^2} + A{C^2} – 2.AB.AC.cos {{120}^0}} = sqrt {{a^2} + {a^2} – 2.{a^2}.frac{{ – 1}}{2}} = asqrt 3 )
( Rightarrow B{D^2} + C{D^2} = B{C^2} Rightarrow ) Tam giác BCD vuông tại D
Gọi I là trung điểm của BC ( Rightarrow ) I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD
Mà tứ diện ABCD có (AB = AC = AD)
( Rightarrow AI bot left( {BCD} right) Rightarrow {V_{ABCD}} = frac{1}{3}.AI.{S_{BCD}})
Tam giác ABI vuông tại I ( Rightarrow AI = sqrt {A{B^2} – B{I^2}} = sqrt {{a^2} – {{left( {frac{{asqrt 3 }}{2}} right)}^2}} = frac{a}{2})
Tam giác BCD vuông tại D ( Rightarrow {S_{BCD}} = frac{1}{2}.BD.DC = frac{1}{2}.asqrt 2 .a = frac{{{a^2}sqrt 2 }}{2})
( Rightarrow {V_{ABCD}} = frac{1}{3}.AI.{S_{BCD}} = frac{1}{3}.frac{a}{2}.frac{{{a^2}sqrt 2 }}{2} = frac{{{a^3}sqrt 2 }}{{12}})
Tam giác ABC: (BC = sqrt {A{B^2} + A{C^2} – 2.AB.AC.cos {{120}^0}} = sqrt {{a^2} + {a^2} – 2.{a^2}.frac{{ – 1}}{2}} = asqrt 3 )
( Rightarrow B{D^2} + C{D^2} = B{C^2} Rightarrow ) Tam giác BCD vuông tại D
Gọi I là trung điểm của BC ( Rightarrow ) I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD
Mà tứ diện ABCD có (AB = AC = AD)
( Rightarrow AI bot left( {BCD} right) Rightarrow {V_{ABCD}} = frac{1}{3}.AI.{S_{BCD}})
Tam giác ABI vuông tại I ( Rightarrow AI = sqrt {A{B^2} – B{I^2}} = sqrt {{a^2} – {{left( {frac{{asqrt 3 }}{2}} right)}^2}} = frac{a}{2})
Tam giác BCD vuông tại D ( Rightarrow {S_{BCD}} = frac{1}{2}.BD.DC = frac{1}{2}.asqrt 2 .a = frac{{{a^2}sqrt 2 }}{2})
( Rightarrow {V_{ABCD}} = frac{1}{3}.AI.{S_{BCD}} = frac{1}{3}.frac{a}{2}.frac{{{a^2}sqrt 2 }}{2} = frac{{{a^3}sqrt 2 }}{{12}})
Đăng bởi: Phòng Giáo Dục và Đào Tạo Tân Phú
Đăng bởi: Câu hỏi Trắc Nghiệm
