Cho khối tứ diện ABCD có thể tích 2019. Gọi M, N,P ,Q lần lượt là trọng tâm của các tam giác

Câu hỏi:

Cho khối tứ diện ABCD có thể tích 2019. Gọi M, N,P ,Q lần lượt là trọng tâm của các tam giác $ABC,ABD,ACD,BCD$. Tính theo thể tích V của khối tứ diện MNPQ

Trả lời:

Chọn C

+ Gọi $M^{‘}=DM\cap \left(NPQ\right)$, $h=d\left(D,\left(ABC\right)\right),h_1=d\left(M,\left(NPQ\right)\right)$.
+ $\left(NQP\right)//\left(ABC\right)\Rightarrow$$\frac{h_1}{h}=\frac{M{M}^{‘}}{MD}=\frac{FN}{FD}=\frac{1}{3}\Rightarrow h_1=\frac{1}{3}h$.
+ $\frac{NQ}{EF}=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{NQ}{AC}=\frac{1}{3}$, tương tự ta có $\frac{NP}{BC}=\frac{PQ}{AB}=\frac{1}{3}$ nên $\Delta NPQ$ và $\Delta ABC$ đồng dạng theo tỉ số $k=\frac{1}{3}$$\Rightarrow S_{\Delta NPQ}=\frac{1}{9}{S}_{\Delta ABC}$.
+ Vậy $V_{MNPQ}=\frac{1}{3}{h}_1.S_{\Delta NPQ}=\frac{1}{3}.\frac{1}{3}.h.\frac{1}{9}{S}_{\Delta ABC}=\frac{1}{27}{V}_{ABCD}=\frac{673}{9}$