Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có các cạnh AB=AA’=2a , đáy ABC là tam

Câu hỏi:

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có các cạnh  $AB=AA‘=2a$, đáy ABC  là tam giác vuông cân tại A Trên cạnh AA’ lấy điểm I sao cho  $AI=\frac{1}{4}AA‘.$  Gọi M,N lần lượt là các điểm đối xứng với B và C qua I. Thể tích khối đa diện $AMNA‘B‘C‘$ bằng

Trả lời:

Bạn đang xem: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có các cạnh AB=AA’=2a , đáy ABC là tam

 

Ta có $MN//BC\Rightarrow MN//B‘C‘$ và $MN=BC=B‘C‘$, suy ra tứ giác MNB’C’ là hình bình hành.

Gọi $J=MB‘\cap NC‘$ suy ra J là tâm hình bình hành và $J\in AA‘.$

                    $V_{AMNA‘B‘C‘}=V_{A.MNB‘C‘}+V_{A‘.MNB‘C‘}$

Do IJ là đường trung bình của tam giác MBB’ nên $IJ=\frac{1}{2}BB‘=a\Rightarrow A‘J=\frac{1}{2}a.$

+) $B‘J=C‘J=\sqrt{A‘B{‘}^2+A‘J^2}=\sqrt{4a^2+\frac{a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{17}}{2},B‘C‘=2a\sqrt{2},$ đặt $p=\frac{JB‘+JC‘+B‘C‘}{2}$

+) $S_{\Delta JB‘C‘}=\sqrt{p\left(p-IB‘\right)\left(p-JC‘\right)\left(p-B‘C‘\right)}=\frac{3a^2\sqrt{2}}{2}\Rightarrow S_{MNB‘C‘}=4S_{\Delta JB‘C‘}=6a^2\sqrt{2}.$

+) $$$d\left(A‘;\left(JB‘C‘\right)\right).S_{\Delta JB‘C‘}=3V_{A‘.JB‘C‘}=A‘J.S_{\Delta A‘B‘C‘}\Rightarrow d\left(A‘;\left(JB‘C‘\right)\right)=\frac{A‘J.S_{\Delta A‘B‘C‘}}{S_{\Delta JB‘C‘}}=\frac{a\sqrt{2}}{3}.$

+) $V_{A.JB‘C‘}=V_{A.A‘B‘C‘}-V_{J.A‘B‘C‘}=\frac{1}{3}AJ.S_{\Delta A‘B‘C‘}=a^3.$

+) $d\left(A;\left(JB‘C‘\right)\right).S_{\Delta JB‘C‘}=3V_{A.JB‘C‘}=3a^3\Rightarrow d\left(A;\left(JB‘C‘\right)\right)=\frac{3a^3}{S_{\Delta JB‘C‘}}=a\sqrt{2}.$

Vậy $V_{AMNA‘B‘C‘}=V_{A,MNB‘C‘}+V_{A‘.MNB‘C‘}=\frac{1}{3}\left(d\left(A‘;\left(JB‘C‘\right)\right)\right)+d\left(A;\left(JB‘C‘\right)\right).S_{MNB‘C‘}$

                     $=\frac{1}{3}\left(\frac{a\sqrt{2}}{3}+a\sqrt{2}\right).6a^2\sqrt{2}=\frac{16a^3}{3}.$

Chọn A.