Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA = 2a, tam giác ABC vuông ở C có AB = 2a, góc CAB = 30 độ. Gọi H là hình chiếu vuông của A trên SC. Tính theo a thể tích của khối chóp H.ABC.

Câu hỏi:

Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA = 2a, tam giác ABC vuông ở C có AB = 2a,

$\widehat{CAB}=30°$

. Gọi H là hình chiếu vuông của A trên SC. Tính theo a thể tích của khối chóp H.ABC. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SAB), (SBC).

Trả lời:

Bạn đang xem: Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA = 2a, tam giác ABC vuông ở C có AB = 2a, góc CAB = 30 độ. Gọi H là hình chiếu vuông của A trên SC. Tính theo a thể tích của khối chóp H.ABC.

Trong mặt phẳng (SAC), kẻ HI // SA thì HI

$\perp$

(ABC).

Ta có: 

$CA=AB.\cos 30°=a\sqrt{3}$

Do đó: 

$S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AC.\sin 30°=\frac{1}{2}.2a.a\sqrt{3}.\sin 30°=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$

Ta có: 

$\frac{HI}{SA}=\frac{HC}{SC}=\frac{HC.SC}{S{C}^2}=\frac{A{C}^2}{S{C}^2}$

$$\begin{gathered} =\frac{A{C}^2}{S{A}^2+A{C}^2}=\frac{3a^2}{4a^2+3a^2}=\frac{3}{7} \\ \Rightarrow HI=\frac{6}{7}a \end{gathered}$$

Vậy 

$V_{H.ABC}=\frac{1}{3}{S}_{ABC}.HI=\frac{1}{3}.\frac{a^2\sqrt{3}}{2}.\frac{6}{7}a=\frac{a^3\sqrt{3}}{7}$

Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên SB. Ta có:

AH

$\perp$

SC, AH

$\perp$

 CB (Do CB

$\perp$

 (SAC)).

=> AH

$\perp$

(SBC) => AH

$\perp$

 SB

Lại có: SB

$\perp$

AK => SB

$\perp$

(AHK).

Do đó, góc giữa hai mặt phẳng (SAB), (SBC) là  

$\widehat{HKA}$

$$\begin{gathered} \frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{S{A}^2}+\frac{1}{A{C}^2}=\frac{1}{4a^2}+\frac{1}{3a^2}=\frac{7}{12a^2}\Rightarrow AH=\frac{2a\sqrt{3}}{\sqrt{7}} \\ \frac{1}{A{K}^2}=\frac{1}{S{A}^2}+\frac{1}{A{B}^2}=\frac{1}{4a^2}+\frac{1}{4a^2}=\frac{1}{2a^2}\Rightarrow AK=a\sqrt{2} \end{gathered}$$