Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại C , cạnh huyền có độ

Câu hỏi:

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại C , cạnh huyền có độ dài bằng 8a. Gọi M là trung điểm của BC, hình chiếu vuông góc S của xuống mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của  AM và $SB=\frac{25a}{2}$. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ABC) là:

Trả lời:

Chọn B

Do tam giác ABC vuông cân tại C, $AB=8a$ nên: $AC=BC=4a\sqrt{2}\Rightarrow CM=2a\sqrt{2}$
Gọi I là trung điểm của $AC$, khi đó $\left\{\begin{array}{l}IH=\frac{1}{2}CM=a\sqrt{2}\Rightarrow HC=\sqrt{H{I}^2+I{C}^2}=a\sqrt{10}\\ AC\perp \left(SHI\right)\end{array}\right.$
Tam giác $ACM$ vuông tại C nên $AM=\sqrt{A{C}^2+C{M}^2}=2a\sqrt{10}$$\Rightarrow HM=a\sqrt{10}$ .
Trong tam giác HBC có HM là đường trung tuyến nên :
$H{M}^2=\frac{H{B}^2+H{C}^2}{2}-\frac{B{C}^2}{4}$$\Rightarrow HB=\sqrt{\frac{4H{M}^2-2H{C}^2+B{C}^2}{2}}$$=\sqrt{\frac{40a^2-20a^2+32a^2}{2}}$$=a\sqrt{26}$
Trong tam giác vuông $SHB$ có $SH=\sqrt{S{B}^2-H{B}^2}$$=\frac{a\sqrt{521}}{2}$ Dựng $HK\perp SI$ tại $\Rightarrow HK\perp \left(SAC\right)$ tại $\Rightarrow HK=d\left(H,\left(SAC\right)\right)$.
Do tam giác  $SHI$ vuông tại I, HK là đường cao nên $\frac{1}{H{K}^2}=\frac{1}{H{S}^2}+\frac{1}{H{I}^2}\Rightarrow HK=a\sqrt{\frac{1042}{529}}$
Lại có H là trung điểm của AM, M là trung điểm của BC nên: $d\left(B,\left(SAC\right)\right)$$=2d\left(M,\left(SAC\right)\right)$$=4d\left(H,\left(SAC\right)\right)$$=4a\sqrt{\frac{1042}{529}}$