Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a; SA vuông góc với mặt phẳng (ABC);

Câu hỏi:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a; SA vuông góc với mặt phẳng (ABC); góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng ${60}^0$. Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SMC).

Trả lời:

Chọn C

Vì M là trung điểm của AB nên $d\left(B;\left(SCM\right)\right)=d\left(A;\left(SCM\right)\right)$.
Trong (ABC), kẻ $AH\perp CM$ tại H.
Ta có $\left\{\begin{array}{l}SA\perp \left(ABC\right)\Rightarrow SA\perp CH\\ AH\perp CH\end{array}\right.\Rightarrow CH\perp \left(SAH\right)\Rightarrow \left(SAH\right)\perp \left(SCH\right)$
Hay $\left(SAH\right)\perp \left(SCM\right)$ theo giao tuyến SH.
Kẻ $AK\perp SH\Rightarrow AK\perp \left(SCM\right)\Rightarrow AK=d\left(A;\left(SCM\right)\right)$.
$\Delta ABC$ đều => trung tuyến CM đồng thời là tia phân giác
$\Rightarrow \widehat{ACM}=\frac{1}{2}\widehat{ACB}={30}^0\Rightarrow AH=AC.\sin {30}^0=\frac{a}{2}$
Vì $SA\perp \left(ABC\right)\Rightarrow \widehat{\left(SB;\left(ABC\right)\right)}=\widehat{SBA}={60}^0\Rightarrow SA=AB.\tan {60}^0=a\sqrt{3}$
Ta có $\frac{1}{A{K}^2}=\frac{1}{S{A}^2}+\frac{1}{A{H}^2}\Rightarrow AK=\frac{SA.AH}{\sqrt{S{A}^2+A{H}^2}}=\frac{a\sqrt{3}.\frac{a}{2}}{\sqrt{3a^2+\frac{a^2}{4}}}=\frac{\frac{a^2\sqrt{3}}{2}}{\frac{a\sqrt{13}}{2}}=\frac{a\sqrt{39}}{13}$.