Cho hàm số y = (2x + 1) / (x + 1) có đồ thị (C). Tiếp tuyến của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại hai điểm A

Xác định giao điểm của tiếp điểm với hai đường tiệm cận và tính độ dài AB. Sử dụng công thức tính độ dài: (AB = sqrt {{{left( {{x_A} – {x_B}} right)}^2} + {{left( {{y_A} – {y_B}} right)}^2}} )

Sử dụng BĐT Cô-si tìm GTNN của AB.

Cách giải:

Đồ thị hàm số (y = frac{{2x + 1}}{{x + 1}}) có TCĐ là (x = – 1) và TCN là (y = 2)

Giả sử (Mleft( {{x_0};{y_0}} right)) là tiếp điểm ( Rightarrow {y_0} = frac{{2{x_0} + 1}}{{{x_0} + 1}})

(y’ = frac{1}{{{{left( {x + 1} right)}^2}}} Rightarrow y’left( {{x_0}} right) = frac{1}{{{{left( {{x_0} + 1} right)}^2}}})

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại (Mleft( {{x_0};{y_0}} right)) là:

(y = frac{1}{{{{left( {{x_0} + 1} right)}^2}}}.left( {x – {x_0}} right) + frac{{2{x_0} + 1}}{{{x_0} + 1}})

Cho (x = – 1 Rightarrow y = frac{{ – 1 – {x_0}}}{{{{left( {{x_0} + 1} right)}^2}}} + frac{{2{x_0} + 1}}{{{x_0} + 1}} = frac{{2{x_0}}}{{{x_0} + 1}} Rightarrow Aleft( { – 1;frac{{2{x_0}}}{{{x_0} + 1}}} right))

Cho (y = 2 Rightarrow 2 = frac{{x – {x_0}}}{{{{left( {{x_0} + 1} right)}^2}}} + frac{{2{x_0} + 1}}{{{x_0} + 1}} Leftrightarrow x – {x_0} + left( {2{x_0} + 1} right)left( {{x_0} + 1} right) = 2{left( {{x_0} + 1} right)^2})

( Leftrightarrow x – {x_0} + 2x_0^2 + 3{x_0} + 1 = 2x_0^2 + 4{x_0} + 2 Leftrightarrow x = 2{x_0} + 1 Rightarrow Bleft( {2{x_0} + 1;2} right))

Khi đó: (AB = sqrt {{{left( {2{x_0} + 2} right)}^2} + {{left( {frac{{2{x_0}}}{{{x_0} + 1}} – 2} right)}^2}} = sqrt {4{{left( {{x_0} + 1} right)}^2} + frac{4}{{{{left( {{x_0} + 1} right)}^2}}}} )

Áp dụng BĐT Cô-si ta có: (4{left( {{x_0} + 1} right)^2} + frac{4}{{{{left( {{x_0} + 1} right)}^2}}} ge 2sqrt {4{{left( {{x_0} + 1} right)}^2}.frac{4}{{{{left( {{x_0} + 1} right)}^2}}}} = 8)

( Rightarrow A{B_{min }} = sqrt 8 = 2sqrt 2 ) khi (4{left( {{x_0} + 1} right)^2} = frac{4}{{{{left( {{x_0} + 1} right)}^2}}} Leftrightarrow {left( {{x_0} + 1} right)^2} = 1 Leftrightarrow left[ begin{array}{l}{x_0} = 0\{x_0} = – 2end{array} right.)